Задания 2-го тура XIV олимпиады по математике для 8 класса

Именные сертификаты и призы
2 тура в онлайн-формате
Для учеников 1-9 классов
2-ой тур XIV олимпиады по математике прошел 29 октября 2023 года.
Задача №1
Яша и Зюзя изобрели свои температурные шкалы. Яша принял за 0 температуру, при которой у него замерзает левая пятка, а 1 градус по его шкале - это то, насколько нагревается камешек, если Яша держит его в руке ровно минуту. А Зюзя принял за 0 температуру, при которой он начинает шмыгать носом и чихать, а за 1 градус принимает то, как меняется температура железного шарика, если Зюзя дышит на него ровно минуту. Каждый из изобретателей сделал термометр для своей шкалы и пошли мерить всё на свете. Оказалось, что если нагреть что-то на 1 градус по шкале Яши, то оно нагреется на 2 градуса по шкале Зюзи; а ещё оказалось, что 0 по шкале Зюзи равен 6 по шкале Яши. Какая температура будет выражаться одинаковым числом градусов по обеим шкалам?
Задача №2
Даня написал на доске 4 различных натуральных числа. Федя для каждой пары чисел выписал отношение большего к меньшему (всего 6 чисел). Сколько различных чисел могло получиться у Феди? Для каждого варианта приведите пример 4 чисел и докажите, что других вариантов быть не может.
Задача №3
Произвольный треугольник разделён на 11 полосок одинаковой ширины, параллельных одной из сторон, как показано на рисунке. Известно, что суммарная площадь голубых полосок равна 330. Чему равна площадь всего треугольника?
Задача №4
Что больше 49! или (7!)⁸? Пользоваться калькулятором для объяснения ответа не допустимо.
Задача №5
В параллелограмме ABCD сумма угла CAB и угла, смежного с ABC, равна 90°. Кроме того, известно, что AD = 10, а AC = 25. Найдите площадь параллелограмма.
Задача №6
У гномов есть особенный праздник, который называется пятисумье. Это день рождения гнома, в который ему исполняется количество лет, в пять раз большее, чем сумма цифр его года рождения. Например, у гнома, родившегося в 2000 году пятисумье наступит в 10 лет, а у родившегося в 1999 - в 140 (отметим, что гномы живут очень долго). Гномы-математики Регин и Радсвинн, родившиеся в XX и XXI веке соответственно, вычислили, что их пятисумье наступит в один день. Какой может быть разница в их возрастах? Найдите все варианты ответа.
Задача №7
Четверо рассеянных гномов нашли три двенадцатикилограммовых золотых самородка и хотят разделить их на троих так, чтобы каждый получил одинаковый суммарный вес золота. Для этого они разбивают самородки на куски и собирают свою долю из них. Известно, что если кому-то из рассеянных гномов попадётся кусок, весящий 3 килограмма или меньше, он обязательно потеряет его на обратном пути. Докажите, что на обратном пути будет потерян хотя бы один кусок золота.
Задача №8
Назовём число n суммоквадратовым, если существует табличка 2n, в первой строке которой записаны числа от 1 до n (каждое по одному разу в строке) в прямой последовательности, а во второй - в какой-то другой, а сумма в каждом столбике является квадратом некоторого натурального числа. Например, числа 3 и 5 являются суммоквадратовыми, потому что существуют таблицы 1 2 3 3 2 1 и 1 2 3 4 5 3 2 1 5 4, в которых сумма в каждом столбике будет точным квадратом. Докажите, что суммоквадратовых чисел бесконечно много.  
Скачать задания в формате PDF
Другие задания олимпиад по математике для 8 класса
Первый тур: 15 - 31 мая
Второй тур: 30 июня

Олимпиада по математике 2024

ШЕСТНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА СИСТЕМАТИКИ
Участвуйте в очередной математической олимпиаде от Систематики! Олимпиада проходит в два тура, по итогам которых победители получают ценные призы грамоты и дипломы.
Именные сертификаты и призы
2 тура в онлайн-формате
Для учеников 1-9 классов
Зарегистрироваться на олимпиаду по математике
Бесплатно