Задания 1-го тура XIХ олимпиады по математике для 9 класса

Три окружности с радиусами 2, 3 и 3 касаются друг друга. Какова площадь треугольника, образованного соединением центров этих окружностей?

В сегмент, который отсекает прямая y=0 от параболы y = x² - 6x + 2, вписан квадрат (см. рисунок). Две вершины квадрата лежат на оси x. Чему равна сторона квадрата? Выберите значение, которое наиболее близко к правильному ответу.

Сколькими способами числа от 1 до 10 (разумеется, взятые по одному разу) можно разбить на пять пар так, чтобы в каждой паре меньшее число было хотя бы вдвое меньше большего?

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CH. Радиус круга и сторона квадрата, вписанных в образовавшиеся треугольники равны 1 (см. рисунок). Чему равна гипотенуза AB? Ответ округлите до десятых.

При составлении автомобильных номеров в России используется следующее правило: в начале идёт одна заглавная буква, далее три цифры (скажем, что возможны абсолютно любые комбинации, даже три нуля). После чего идут две заглавные буквы и номер региона (сегодня это нам не понадобится). Назовём "красивыми" такие номера, где одинаковы либо все буквы, либо все цифры, либо и то, и другое сразу. Какое количество комбинаций "красивых" номеров может существовать? Буквы, которые можно использовать при составлении номера представлены ниже (после олимпиады можете подумать, почему только эти буквы можно использовать): А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х.

В начале учебного года Вася пишет вступительную контрольную работу по математике. Вероятность того, что ему попадется лёгкий вариант равна $0.3$, вариант средней степени сложности — $0.5$, и самый маловероятный исходит приходится на "выпадание" сложного варианта — $0.2$. Вероятность того, что Вася справится с легким вариантом равна $0.6$, со средним — $0.4$, а силы Васи решить самый сложный вариант оцениваются в $0.2$. Какова вероятность того, что Вася успешно напишет контрольную работу?

Снята с зачета

Упростите выражение. Чему будет равен свободный коэффициент у получившегося многочлена?

В квартире Сидоровых живут папа, мама и несколько детей. Месяц назад папе исполнилось 46 лет. Сегодня, когда вся семья соберётся за столом, среднее арифметическое их возрастов будет равно 22. Но через пару дней папа уедет в рабочую командировку, и когда мама и дети будут ужинать, среднее арифметическое их возрастов будет равно 18. Сколько детей в семье Сидоровых?