Задания 2-го тура XIХ олимпиады по математике для 8 класса

Хижина Робинзона находится на берегу острова, который имеет форму круга. Как-то Робинзон прошёл из хижины 4,5 км на восток вглубь острова, а затем 6 км на юг и оказался на берегу. На следующий день Робинзон прошёл из хижины 8 км на восток и 6 км на север и снова оказался на берегу. Каковы размеры острова? Укажите радиус.

Анатолий вырезал из бумаги четыре не обязательно одинаковых квадрата с целыми длинами сторон. Ян склеил их склеивает сторона к стороне (без наложений и дырок) и получил прямоугольник с площадью 540 см². Чему равен периметр этого прямоугольника?

Вася выкладывает доминошки на доску 2026×4. В какой-то момент оказалось, что в каждой строке и в каждом столбце заняты ровно 2 клетки. Обязательно ли Вася сможет заполнить доминошками оставшиеся клетки доски?

В прямоугольнике ABCD провели диагональ BD. На ней отметили точку M и построили от неё перпендикуляры MS, MP, MQ и MR к сторонам AB, BC, CD и DA соответственно. Известно, что площадь прямоугольника ASMR равна 45. Чему равно произведение площадей прямоугольников SBPM и RMQD?

На Новый год в доме Петровых собрались родственники, включая тётю Машу и тётю Дашу, которые были близняшками (то есть родились в один день). Когда в комнату вошла тётя Маша, средний возраст всех людей в комнате увеличился на 3 года. А когда в комнату вошла тётя Даша, то средний возраст всех людей в комнате увеличился ещё на 2 года. (Будем считать, что между приходами тёти Маши и тёти Даши никто не входил и не выходил из комнаты.) Сколько людей было в комнате до того, как пришла тётя Маша?