Задания 1-го тура XХ олимпиады по математике для 9 класса

У скольких треугольников с целыми длинами сторон и периметром 2028, ровно две стороны равны между собой?

Верхние стороны синих квадратов находятся на одной линии, а их площади равны 36 см2 и 49 см2. Чему равна площадь красного треугольника?

Натуральное число n имеет ровно 9 натуральных делителей (включая 1 и само n). Нетрудно понять, что в зависимости от n, вопрос: “Сколько делителей имеет число 10n?” - будет иметь различные ответы. Сколько различных ответов можно дать на этот вопрос?

Математик Илюша решил придумать свою, математическую новогоднюю ёлку, поэтому он написал на доске цифры 2, 0, 2 и 6, а числа в каждой следующей строчке получал по следующему принципу: - в начале всегда 2; - в конце всегда 6; - все промежуточные числа равны сумме верхнего левого и верхнего правого их соседей. Первые четыре строчки новогодней ёлки Илюши выглядят так (см. рисунок) Сумма всех чисел в последней поместившейся на доску строчке равна 5120. Чему равно предпоследнее число в этой строчке?

В ромбе ABCD угол A равен 74 градуса. На диагонали AC взяли точку K такую, что AK = BK + CK. Найдите угол KBC.

Пусть N это произведение 20 сомножителей 1!·2!·3!·…·20!, где n! = 1·2·3·…·n – произведение целых чисел от 1 до n. На какое наименьшее натуральное число нужно домножить N, чтобы получился полный квадрат?

Лизе было скучно в праздники, поэтому она взяла число 2026 и начала проделывать с ним следующую операцию: - если число делится на 5 без остатка, Лиза делит его на 5; - если число не делится на 5, Лиза прибавляет к нему 3. Так, после первого шага Лиза получила 2029, после второго -- 2032, после третьего -- 2035, после четвёртого -- 407 и так далее. Какое число получится у Лизы после 2025 операций?

Найдите площадь четырехугольника, если проведённая в нем диагональ принимает наибольшее целое значение (ответ округлить до целого числа).

Доску 11×11 заполняют прямоугольниками 1×4 и 4×1. Какая клетка при этом может остаться незаполненной?