Задания X олимпиады по математике для 9 класса

Можно ли составить выражение, значение которого равно 27, использовав для этого не более шести единиц (другие цифры использовать нельзя), а также операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и скобки?

Решить в натуральных числах уравнение:

Во время кораблекрушения на необитаемом острове вместе с неуловимым Джо оказалось несколько пар коз, овец и кур и для выживания необходимо начать их разводить. Для того, чтобы защитить животных и птиц от хищников необходимо построить забор. Для кур надо не меньше 30м2, для коз требуется огородить не меньше 45м2, а для овец не менее 55м2. Сможет ли Джо выполнить задуманное, если после кораблекрушения он смог собрать досок на 58 метров забора, а ещё у него осталось 3 прочных двери шириной в 1 метр каждая?

Легко выбрать несколько предметов из какого-нибудь множества, осуществляя это последовательно, т. е. выбирая сначала 1-й предмет, затем 2-й и т. д. У «Клуба Настольных Игр» возникла задумка сделать это с помощью генератора случайных чисел. Что хотят осуществить ребята: 1. Предметы выбираются случайным образом, и ни один из предметов не может иметь преимущество перед другим. 2. После ввода параметров (количество предметов в множестве и сколько необходимо выбрать) нажимается кнопка и выдается одно единственное число (натуральное от 1 до n, заданного нами), по которому и осуществляется выбор. Считая, что все предметы, из которых надо осуществлять выбор уникальные (нет одинаковых) придумайте и опишите такой алгоритм и укажите какие числа для него надо ввести для выбора: а) 3-х предметов из 8, б) 4-х из 10.

Площади трех граней параллелепипеда равны 28 см2, 42 см2 и 24 см2. Найти объем параллелепипеда. Докажите, что этот результат единственный, или найдите все возможные результаты

Вася и Василиса играют в следующую игру. За один ход можно нарисовать на стене несколько золотых рыбок, на первом ходе – любое количество от 1 до 2021, на каждом следующем – не больше, чем было нарисовано на предыдущем ходе. Выигрывает игрок, после хода которого на стене будет нарисовано по крайней мере 2022 золотые рыбки. Василиса рисует первая. Кто выигрывает при правильной игре и как он должен для этого играть?

Аня записала три последовательных натуральных числа. Оказалось, что для этого ей понадобились только три различные цифры, причем одна из этих цифр была использована ровно 9 раз и присутствовала минимум в 2-х из этих чисел. Докажите, что таких троек бесконечное число и приведите их общий вид.

В ХIХ — ХХ веках Россией правили 6 царей династии Романовых. Вот их имена и отчества по алфавиту: Александр Александрович, Александр Николаевич, Александр Павлович, Николай Александрович, Николай Павлович, Павел Петрович. Один раз после брата правил брат, во всех остальных случаях после отца — сын. Как известно, последнего русского царя, погибшего в Екатеринбурге в 1918 году, звали Николаем. Найдите порядок правления этих царей.

В детстве жена человека-паука ставила его сына в угол (левый верхний). Когда мама вышла в магазин. Он обнаружил муху сверху двери (где именно, мы не знаем). Успеет ли он поймать муху и вернуться обратно? Размеры комнаты в метрах 8*3*3 (ДШВ). Дверь находится справа, в середине узкой стены и имеет размер 1*2 метра. Сын человека-паука может передвигаться только по стенам, полу или потолку Скорость сына человека паука 3 м/ч. Мама вышла на 5 мин (и 3 часа говорила с соседкой).