Задания Одиннадцатой Олимпиады по математике Осень 2022 2 тур 9 класс

На данной страницы размещены олимпиадные задания с решением для 9 класса.
Олимпиада по математике прошла 23 октября 2022 года

Cкачать задание в формате PDF

Посмотреть ответы на все задания олимпиады

Задание №1

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С гипотенуза АВ = 20 см. Может ли его площадь быть равной 110 см2?

Задание №2

Маша нарисовала квадрат по клеточкам. Катя вырезала из него другой квадрат по клеточкам. При этом от Машиного квадрата не вырезанными остались 37 клеточек. Чему равна сторона Машиного квадрата? Найти все варианты и доказать, что других вариантов нет!

Задание №3

Автор: Альперин Михаил Исаакович

Сколькими способами можно расставить в ряд числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, что второе число отличается от первого, третье число — от второго,четвёртое — от третьего, пятое — от четвертого, шестое число — от пятого на целое число процентов?

Задание №4

Автор: Альперин Михаил Исаакович

Дана трапеция ABCD, в которой AB=BC=CD и P — основание перпендикуляра, опущенного из точки C на основание AD. Докажите, что если из точки P опустить перпендикуляр на диагональ AC, то он проходит через середину диагонали BD.

Задание №5

Автор: Альперин Михаил Исаакович

Известно, что натуральные числа a, b, c удовлетворяют соотношению a+b=ab-bc, а c+1 — квадрат простого числа. Докажите, что хотя бы одно из чисел a+b или ab является квадратом натурального числа.

Задание №6

Автор: Чернятьев Николай Леонидович

В вершинах шестиугольника написали натуральные числа (не обязательно различные), а на каждой стороне — НОК чисел, написанных на ее концах. Могло ли оказаться, что числа на сторонах — это шесть последовательных чисел? (Если да, то приведите пример чисел, написанных в вершинах, если нет, то объясните почему такого быть не может)

Задание №7

Автор: Чернятьев Николай Леонидович

Имеется клетчатая доска 5×6, первоначально пустая. За один ход можно поставить на любую из пустых клеток одну фишку: белую, если в “кресте” с этой клеткой находится чётное число фишек, чёрную – если нечётное. Какое наибольшее число белых фишек можно поставить на доску? (“Крест” — это клетки, которые находятся с данной клеткой в одном столбце или одной строке)

Задание №8

Автор: Иванюк Дмитрий

Найти угол α если самая большая сторона равна 8 см