pic

Задания 2-го тура XII олимпиады по математике для 9 класса

Именные сертификаты и призы
2 тура в онлайн-формате
Для учеников 1-9 классов
2-ой тур XII олимпиады по математике прошел 26 февраля 2023 года.
Задача №1
В команде программистов 40 человек. Из них на С++ пишут 20 человек, на Java - 15 человек, на Python - 11 человек. 7 программистов знают C++ и Java, 5 знают C++ и Python, и 3 человек - Python и Java. Один человек владеет всеми тремя языками. Все остальные занимаются frontend-разработкой и используют другие языки. 1) Сколько человек занимаются frontend-разработкой? 2) Сколько человек знает только один из языков C++,Python или Java?
Задача №2
Докажите, что найдутся такие взаимно простые в совокупности натуральные числа a, b, c, d и e, большие 10^2023, что
Задача №3
Найдите все тройки простых чисел p,q,r, удовлетворяющие системе уравнений:
Задача №4
Есть карточки с числами 754, 28, 78240, 103, 5271, 384 (с каждым числом может быть сколько угодно карточек). Можно ли разложить их по кругу так, чтобы у каждой пары чисел, стоящих рядом, была одинаковая цифра, и любая пара чисел с одинаковой цифрой встречалась рядом, но ни одна такая пара не попадалась дважды?
Задача №5
Доктор Стрэндж защищает n миров Мультивселенной от темных сил. Чтобы проверить всё ли в порядке, он должен провести как минимум n минут в каждом из миров. Из-за различий в размерностях миров время в них течет иначе: в k-ом мире время идет в k2 раз медленнее (для всех k от 1 до n). Например, пока Стрэндж проведет положенные n минут в (n-1)-ом мире, на Земле пройдет n(n-1)2 минут. Докажите, что среднее земное время проверки одного мира больше
Задача №6
Докажите, что выражение верно при всех натуральных n.
Задача №7
Золушке добрая мачеха подарила набор «Целочисленная геометрия», в котором есть большое количество палочек с длиной, равной целому числу сантиметров. Сегодня Золушка должна сконструировать все различные треугольники, используя палочки длиной больше 10 см, но не длиннее 20 см. Мачеха сказала, что, когда Золушка выполнит задание, она может поиграть на компьютере. Если каждый треугольник она составляет за 1 минуту и начала это делать в 18:00, то успеет ли она поиграть, а если успеет, то сколько, при условии, что спать она должна лечь в 22:00? Треугольники, совпадающие при вращении или переворачивании, считаются одинаковыми. Ошибок и повторов золушка не допускает.
Задача №8
В некоторой компании из 2N человек у каждого есть ровно три друга. Всегда ли её можно разбить на N пар друзей?
Решения и ответы
Другие задания олимпиад по математике для 9 класса
Первый тур: 15 - 31 мая
Второй тур: 7 июля

Олимпиада по математике 2024

ШЕСТНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА СИСТЕМАТИКИ
Участвуйте в очередной математической олимпиаде от Систематики! Олимпиада проходит в два тура, по итогам которых победители получают ценные призы грамоты и дипломы.
Именные сертификаты и призы
2 тура в онлайн-формате
Для учеников 1-9 классов
Зарегистрироваться на олимпиаду по математике
Бесплатно