Задания 2-го тура XIХ олимпиады по математике для 6 класса

Пятеро человек загадали по одному числу от 1 до 10 (без повторений). Оказалось, что любые двое загадали числа с чётным произведением. Чему равно наименьшее возможное произведение всех пяти загаданных чисел?

Пете, Васе и Саше сообщили три различных натуральных числа, после чего они заявили следующее. Петя: “Это 3 последовательных числа. Их сумма больше 30.” Вася: “Среднее по величине из трёх чисел равно 14.” Саша: “Петя сказал правду. Сумма чисел равна 35.” Известно, что некоторые из мальчиков всегда говорят правду, а некоторые всегда лгут (те и другие есть). Чему равно произведение чисел, которые сообщили ребятам?

Большой куб составлен из кубиков размером 1×1×1. Назовём степенью кубика количество кубиков, с которыми они соприкасаются гранями. Алёша, Боря, Вика и Галя собрали большие кубы и стали считать степени кубиков в них. Алёша сказал, что в его большом кубе ровно 64 кубика со степенью 6. Боря сказал, что в его кубе ровно 72 кубика со степенью 5. Вика сказала, что в её кубе ровно 54 кубика со степенью 4. Наконец, Галя сказала, что в её кубе ровно 8 кубиков со степенью 3. Не ошибся ли кто-то из ребят? По чьим ответам можно однозначно восстановить размеры большого куба, который они собрали?

Алина слишком долго играла в игру Три в ряд и теперь боится, что если положит подряд по горизонтали, вертикали или диагонали три шарика, то они исчезнут. Какое наибольшее количество шариков может Алина положить в клетки таблицы 3×3, чтобы не переживать об исчезновении?

Даниил рассматривает всевозможные перестановки букв в слове КРЕКЕР, а потом выписывает их в алфавитном порядке: ЕЕККРР, ЕЕКРКР, ЕЕКРРК, …. На каком месте в этом списке будет стоять само слово КРЕКЕР?

Какое из чисел заканчивается на большее количество нулей: 2025! или 10⁵⁰⁰?

Семён вырезает из бумаги четыре не обязательно одинаковых квадрата, причём сторона наименьшего из них всегда равна 1 см. Рома склеивает эти квадраты сторона к стороне (без наложений и дырок) и получает прямоугольник. Сколько разных наборов из четырёх квадратов мог вырезать Семён, чтобы у Ромы каждый раз получалось склеивать разные прямоугольники? (прямоугольники, отличающиеся друг от друга симметрией или поворотом, будем считать одинаковыми)