Задания 2-го тура XХ олимпиады по математике для 9 класса

Пусть a, b и c - некоторые ненулевые цифры. Сколько различных решений имеет уравнение 3*0,(abc)=0,(ab)+0,(bc)+0,(ca)? Напомним, что скобки после запятой в десятичной дроби обозначают, что цифры в скобках повторяются бесконечно много раз. Например, 0,(2026)=0,2026202620262026… и 0,(ab)=0,abababab…

В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B вписан правильный треугольник MBN оказалось, что площади красных треугольников на рисунке равны 1 и 2. Чему равна площадь прямоугольного треугольника?

Гоночные трассы представляют собой набор окружностей (с единственной общей точкой — стартом и финишем одновременно), пронумерованных натуральными числами от самой короткой к самой длинной. Если гонщики Пётр и Андрей стартуют одновременно с любых двух трасс, пронумерованных последовательными числами, и при этом Андрей будет ехать по трассе с большим номером, то они приедут одновременно. Если же Андрей поедет по четвёртой трассе, а Пётр — по пятой, то, когда Андрей финиширует, Петру будет оставаться ещё 2 км 541 метров. Во сколько раз скорость у Андрея выше, чем у Петра, если длина самой короткой трассы — 10 километров?

Какое наибольшее количество различных натуральных чисел можно выбрать из набора от 1 до 2026 так, чтобы среди них не было простых чисел, но любые два числа были бы взаимно простыми?