Задания 1-го тура XV олимпиады по математике для 7 класса

Несколько игроков участвовали в турнире GeoGuesser. Каждый сыграл с каждым по одному разу. За одну игру каждый из двух игроков может получить любое количество баллов от 0 до 10. Известно, что в играх было задействовано 5 карт, и на каждой карте прошло одинаковое количество раундов. Какое минимальное количество игроков должно было быть, чтобы гарантировано нашлась карта, на которой дважды набрали одинаковое количество баллов?

Когда цирк уехал клоунам Александру, Дмитрию и Максиму пришлось искать новую работу. Каждый из друзей решил попробовать освоить две разных специальности: переводчик, математик, программист, дизайнер, оперный певец, инженер. Известно, что:
• Программист выгуливал собаку дизайнера.
• Математик и инженер вместе с Александром любят ходить на рок-концерты.
• Программисту не понравился психолог, к которому ходит математик.
• Дмитрий принес тортик на день рождения инженера.
• Дизайнер продал переводчику заглохшую машину.
• Максим готовит пельмешки быстрее, чем Дмитрий и дизайнер.
Какие новые специальности решил освоить Максим?

В жаркий день Ллойд и Гарри решили раскопать себе ямы, чтобы спрятаться от солнца. Через час они прервались и выяснили, что Ллойд успел выкопать 9 кубометров, а Гарри – всего 6. После перерыва они снова принялись за дело, но Гарри обиделся и стал скидывать выкопанную землю в яму Ллойда, а Ллойд, в отместку - в яму Гарри. Какого размера будет яма Ллойда, к моменту, когда яму Гарри полностью засыплет?

Ниф-Ниф, Нуф-Нуф и Наф-Наф задумали три числа, цифры которых различны: трёхзначное, четырёхзначное и пятизначное. Оказалось, что у числа Ниф-Нифа все цифры нечётные и оно в 15 раз больше числа Нуф-Нуфа. Какое число задумал Наф-Наф, если известно, что оно равно сумме чисел Ниф-Нифа и Нуф-Нуфа?

Катя возвела двойку в тридцатую степень. Екатерина возвела пятёрку в двадцатую степень. Катюша перемножила эти два числа. А Кейт вычислила сумму цифр полученного большого числа и умножила на количество нулей в нём же. Какой результат получился у Кейт?

Чтобы впечатлить профессора, Крошка Цахес сложил 8 подряд идущих чисел и записал результат на доску. Однако профессор сказал, что в вычислениях ошибка. Какое число могло быть записано на доске?

Известно, что n -- натуральное число. Какое наибольшее значение может принимать НОД(5n+16, 7n+19)?

Робот Фёдор вычислил значение выражения 20!*24. Робот Пётр повторяет одну и ту же операцию: выбирает какую-то цифру числа, вычёркивает её и прибавляет к полученному результату. Например, если на каком-то шаге Пётр получит число 2025, он может вычеркнуть двойку, прибавить её к результату и получить 205+2 = 207. Пётр проделывает эту операцию много-много раз, выбирая вычёркиваемые цифры случайным образом. Какое число он точно НЕ может получить ни на каком из шагов?

Катя выписала все числа, состоящие из четырнадцати девяток и одной семёрки. Сколько среди них делится на 11?

В конструкторе «Геометрия на палочках» есть палочки длины 1, 2, 3 и 4, по три палочки каждой длины. Сколько различных треугольников можно собрать из этого конструктора?