Задания 2-го тура XV олимпиады по математике для 7 класса

Три брата купили две коллекционные машинки (одинаковые по цене) совместно. На одну они вложили деньги в отношении 7:8:6, а на другую— в отношении 5:6:4. При этом, один из братьев отдал за первую машинку на 120 рублей больше, чем за вторую. Сколько стоила одна машинка?

На сторонах BC и СD прямоугольника ABCD отмечены точки M и K. Известно, что стороны прямоугольника равны 17 и 27. Известно также, что периметр треугольника ABM равен 47, периметр MCK равен 37, а периметр MDA равен 57. Чему равен периметр треугольника AMK?

Франциска бежит со скоростью 7 км/ч. В 15:00 она получает на свои умные часы сообщение с напоминанием о том, что в 15:30 у нее назначена встреча с подругой. Она бежит домой тем же путем с удвоенной скоростью, а затем ей требуется еще 10 минут, чтобы принять душ и переодеться. Затем она едет со скоростью 3 км/ч к своей подруге, которая живет в 250 м. от нее, и приходит вовремя.

Андрей заказал пиццу, которая согласно заявленным характеристикам, должна была быть 50 сантиметров в диаметре. Однако, произведя измерение готового продукта, Андрей заметил, что фактический размер пиццы составил 47 см в диаметре. Андрей был недоволен, и потребовал вернуть ему сумму денег, эквивалентную недостающей части пиццы. Какую сумму денег должны вернуть Андрею, если ее стоимость 1000 рублей? Ответ округлите до целого числа рублей.

У Васи есть два набора карточек с числами от 1 до 100. Он разложил первый набор в ряд (в случайном порядке), потом нарисовал под каждым числом дробную черту и под каждой чертой положил по одному числу из второго набора. Получившиеся 100 дробей он сложил. Докажите, что он получил результат не менее 100.

Решите уравнение в целых числах:

Верно ли, что для любого n>1 верно выражение: