Задания Тринадцатой Олимпиады по математике Весна 2023 2 тур 6 класс

Задача №1.

Автор: Альперин

Аня и Беня по очереди кидают игральный кубик.
Начинает Аня. Ане всегда очень везёт и за каждые шесть бросков кубика подряд хотя бы четыре раза выпадает шестёрка. Беня сегодня встал не с той ноги и ему за каждые три броска подряд обязательно выпадает хотя бы одна двойка, а за каждые пять бросков подряд обязательно выпадает хотя бы одна единица. Игрок, который первым наберёт в сумме хотя бы 58 очков, выиграет.
Есть ли у Бени шансы и почему?

Задача №2.

Автор: Тодоров Евгений

Тая и Женя очень любят сладкое. Готовясь к экзаменам, каждый из них купил по одинаковому набору шоколадок. Известно, что они могут скушать целую шоколадку за 3 или 4 перекуса. Целого набора шоколадок Тае хватило на 41, а Жене — на 35 перекусов.
Сколько шоколадок в одном наборе?

Задача №3.

Автор: Тодоров Евгений

В сказочном лесу живут лисята и волчата. Лисята всегда врут, а волчата — всегда говорят правду. Во время опроса о том, кто живёт в лесу, часть жителей сказала, что в лесу нечётное число волчат, а остальные сказали, что в лесу чётное число лисят.
Может ли в лесу быть 2023 жителя?

Задача №4.

Автор: Галиулина Варвара

Существует ли семизначное число А и четырехзначное число В такие, что в записи А есть только цифры 3, 6, 9, и 0, а произведение АВ записывается только цифрами 2 и 5?

Задача №5

Автор: Тодоров Евгений

Борис Алексеевич каждое утро ходит из дома в магазин медленным шагом с одной и той же скоростью и приходит ровно к открытию кассы.
Однажды Борис Алексеевич увидел по дороге в магазин котика и гладил его пять минут. Чтобы и после этого успеть ровно к открытию кассы, Борис Алексеевич оставшуюся часть пути прошёл в два раза быстрее обычного.
А за сколько до открытия кассы он прибыл бы, если бы сразу после котика побежал в магазин в три раза быстрее, чем обычно ходит?

Задача №6.

Автор: Тодоров Евгений

На доске написано число 30. Двое играют в игру. За один ход разрешается вычесть из числа на доске какой-то точный квадрат, не больший написанного числа, стереть старое число и написать вместо него полученную разность. Выигрывает тот, кто первым получит число 0.
Кто победит при правильной игре?

Задача №7.

Автор: Альперин

Про натуральные числа a, b, c известно, что: НОД(a;b)+НОД(b;c)+НОД(a;c)=(a+b+c)/2.
Докажите, что хотя бы одно из трёх чисел делится на другое.

Задача №8.

Автор: Тодоров Евгений

По трассе, проходящей с севера на юг, проходит забег на разные дистанции. На самой трассе каждый километр стоит палатка, в которой участники забега могут взять воды. Разные участники могут делать забеги на разное количество километров, но начинаться и заканчиваться любой забег должен у какой-то палатки. Все участники всегда бегут с севера на юг. Палатку будем называть проходной для забега, если забег не начинается и не заканчивается у этой палатки, но проходит через неё. Оказалось, что та палатка, в которой дежурит волонтёр Настя, является проходной максимум для 36 различных маршрутов, а та, в которой дежурит Петя, является проходной максимум для 51 маршрута.
Забег какой максимальной длины можно сделать по этой трассе?