Задания 2-го тура XIII олимпиады по математике для 6 класса

Аня и Беня по очереди кидают игральный кубик. Начинает Аня. Ане всегда очень везёт и за каждые шесть бросков кубика подряд хотя бы четыре раза выпадает шестёрка. Беня сегодня встал не с той ноги и ему за каждые три броска подряд обязательно выпадает хотя бы одна двойка, а за каждые пять бросков подряд обязательно выпадает хотя бы одна единица. Игрок, который первым наберёт в сумме хотя бы 58 очков, выиграет. Есть ли у Бени шансы и почему?

Тая и Женя очень любят сладкое. Готовясь к экзаменам, каждый из них купил по одинаковому набору шоколадок. Известно, что они могут скушать целую шоколадку за 3 или 4 перекуса. Целого набора шоколадок Тае хватило на 41, а Жене -- на 35 перекусов. Сколько шоколадок в одном наборе?

В сказочном лесу живут лисята и волчата. Лисята всегда врут, а волчата -- всегда говорят правду. Во время опроса о том, кто живёт в лесу, часть жителей сказала, что в лесу нечётное число волчат, а остальные сказали, что в лесу чётное число лисят. Может ли в лесу быть 2023 жителя?

Существует ли семизначное число А и четырехзначное число В такие, что в записи А есть только цифры 3, 6, 9, и 0, а произведение АВ записывается только цифрами 2 и 5?

Борис Алексеевич каждое утро ходит из дома в магазин медленным шагом с одной и той же скоростью и приходит ровно к открытию кассы. Однажды Борис Алексеевич увидел по дороге в магазин котика и гладил его пять минут. Чтобы и после этого успеть ровно к открытию кассы, Борис Алексеевич оставшуюся часть пути прошёл в два раза быстрее обычного. А за сколько до открытия кассы он прибыл бы, если бы сразу после котика побежал в магазин в три раза быстрее, чем обычно ходит?

На доске написано число 30. Двое играют в игру. За один ход разрешается вычесть из числа на доске какой-то точный квадрат, не больший написанного числа, стереть старое число и написать вместо него полученную разность. Выигрывает тот, кто первым получит число 0. Кто победит при правильной игре?

Про натуральные числа a, b, c известно, что: НОД(a;b)+НОД(b;c)+НОД(a;c)=(a+b+c)/2. Докажите, что хотя бы одно из трёх чисел делится на другое.

По трассе, проходящей с севера на юг, проходит забег на разные дистанции. На самой трассе каждый километр стоит палатка, в которой участники забега могут взять воды. Разные участники могут делать забеги на разное количество километров, но начинаться и заканчиваться любой забег должен у какой-то палатки. Все участники всегда бегут с севера на юг. Палатку будем называть проходной для забега, если забег не начинается и не заканчивается у этой палатки, но проходит через неё. Оказалось, что та палатка, в которой дежурит волонтёр Настя, является проходной максимум для 36 различных маршрутов, а та, в которой дежурит Петя, является проходной максимум для 51 маршрута. Забег какой максимальной длины можно сделать по этой трассе?