Задание IV Олимпиады по математике. 7 класс.
1. В мешке есть буквы К, Р, О, Т. Всего 26 карточек. Сколько каждого вида, неизвестно. Букв К меньше, чем букв Р. Букв Р меньше чем букв О. Букв О меньше чем букв Т. Буквы достают по одной из мешка, не глядя. Чтобы точно собрать слово КРОТ, нужно вытащить 22 карточки. Чтобы собрать набор КРТ , нужно вытащить 20 карточек. Сколько карточек каждого вида в мешке?
2. Квадрат 6х6 разделили на 8 частей и сложили из них прямоугольник, ширина которого в два раза меньше его длины. Нарисуйте, как это сделать.
3. Поезд «Сапсан», длинной 500 метров, едет из Питера в Москву и может достигать скорости 80 метров в секунду. Навстречу ему едет поезд «Ласточка», длинной 220 метров, которая может достигать скорости 40 метров в секунду. Где-то в районе Клина поезда проносятся мимо друг друга на максимальной скорости. Сколько времени длится «встреча поездов» – от момента, когда их головы встретились до момента, когда их хвосты миновали друг друга?
4. В квадрате 9х9 вырезали три угловые клетки. Можно ли такую испорченную доску разделить на трёхклеточные уголки?
5. В треугольнике АBC медиана АМ, высота СН и биссектриса ВК пересекаются в одной точке О. Угол НОВ равен углу МОВ. Докажите, что треугольник АВС равносторонний.
6. На кондитерской фабрике выпускаются шоколадные, мармеладные и сливочные конфеты. В подарочную коробку, в виде длинной линейки, вмещается 15 конфет в ряд. Сколько способов наполнить коробку конфетами? (Порядок конфет в коробке важен).