Задания 2-го тура XII олимпиады по математике для 7 класса

Бабу-Ягу и Кощея Бессмертного мог помирить только старый Мудрый Дракон, но общается с людьми он только по воскресеньям, когда не занят. Каждый пятый день дракон считает монеты, каждый третий день он охотится. Какого ближайшего числа и месяца дракон сможет принять Кощея Бессмертного и помирить их с Бабой-Ягой, если сегодня 14 марта, понедельник (никто не говорит, что это должно происходить в 2023 году), и дракон улетел охотится, а вчера он считал монеты? Дракон любит считать монеты больше, чем охотится (у него есть запас еды в мегахолодильнике), и если эти дела совпадают, то все последующие охоты сдвигаются на один день.

Заболевшей ладьей называется шахматная фигура, которая ходит и бьет как обычная ладья, но только на одну или две клетки. Какое наибольшее число заболевших ладей можно расставить на шахматной доске 8x8 так, чтобы они не били друг друга?

Серёжа хочет выписать на доску в некотором порядке все цифры от 1 до 9, а затем добавить несколько нулей в места до, после и между цифрами так, чтоб сумма любых четырёх подряд идущих цифр являлась простым числом. В каком порядке Серёже нужно выписать цифры от 1 до 9, чтобы количество нулей, которое он мог бы добавить для осуществления своей задумки, было наибольшим из возможных?

Даны шесть утверждений: 1) утверждение 2 истинно, а утверждение 5 ложно; 2) среди утверждений 1 и 6 ровно одно истинно; 3) среди утверждений 4, 5 и 6 как минимум два истинных; 4) если утверждение 2 истинно, то утверждение 3 ложно; 5) среди утверждений 1, 2 и 3 чётное число истинных; 6) утверждения 1 и 4 истинны или ложны одновременно; Какие из утверждений истинны, а какие ложны?

Петя сказал, что нашёл два натуральных числа A и B такие, что: A⋅B=20152016201720182019202020212022 Вася узнал числа A и B и утверждает, что тогда: (A+1)(B+1)=20162017201820192020202120222023 Докажите, что кто-то из них не умеет считать.

Петя и Вася бегают в спортзале, стартовав из одной точки. Когда Петя пробежал ровно 6 кругов, Вася впервые догнал его, и мальчики побежали в другую сторону. Петя увеличил свою скорость на 6 км/ч и, пробежав 6 кругов, впервые догнал Васю. С какой скоростью бегал Вася, если она была у него постоянной?

Аня и Беня по очереди кидают игральный кубик. Начинает Аня. Ане всегда очень везёт, и за каждые шесть бросков кубика подряд хотя бы четыре раза выпадает шестёрка. Беня сегодня встал не с той ноги, и ему за каждые три броска подряд обязательно выпадает хотя бы одна двойка, а за каждые пять бросков подряд обязательно выпадает хотя бы одна единица. Игрок, который первым наберёт в сумме хотя бы 58 очков, выиграет. Есть ли у Бени шансы?

Калькулятор умеет прибавлять к числу его последнюю цифру и больше ничего не умеет. Сколько существует двузначных чисел, из которых за несколько таких операций можно получить число 2022?