Задания 2-го тура XIII олимпиады по математике для 7 класса

Именные сертификаты и призы
2 тура в онлайн-формате
Для учеников 1-9 классов
2-ой тур XIII олимпиады по математике прошел 9 июля 2023 года.
Задача №1
Есть карточки с числами 123, 124, 134, 234 (с каждым числом - сколько угодно карточек). Можно ли разложить их по кругу так, чтобы у каждой пары чисел, стоящих рядом, была одинаковая цифра, и каждая пара чисел с одинаковой цифрой встречалась рядом ровно один раз?
Задача №2
Про натуральные числа a, b, c известно, что: НОД(a;b)+НОД(b;c)+НОД(a;c)=(a+b+c)/2. Докажите, что хотя бы одно из трёх чисел делится на другое.
Задача №3
Два брата решили посоревноваться в беге "с нагрузкой" по следующим правилам: у каждого брата есть ведро, братья стартуют вместе и финишируют в указанной на рисунке точке. Но перед тем как бежать на финиш, братья должны добежать до каналов и зачерпнуть оттуда воду - младший до левого, а старший до правого. Каналы с водой параллельны, но от старта до левого канала 10 метров, а до правого - 20 метров. Прямая, на которой находятся старт и финиш, параллельна каналам. Кто выиграет, если оба брата выбрали наилучшие (кратчайшие) пути, но старший бегает в 2 раза быстрее?
Задача №4
В стране роботов в качестве валюты используются бины. Известно, что бывают монеты номиналом в 1, 4 и 8 бинов. Сколькими различными способами можно набрать сумму в 80 бинов, пользуясь такими монетами?
Задача №5
Гоблин Крюкохват хранит свои золотые монеты в большом мешке. Однажды, он захотел разложить их по более мелким мешочкам. Он делает это так: если количество монеток в каком-нибудь мешке больше трёх, он высыпает их все и пересчитывает; если их количество делится на 3, поровну раскладывает их в три мешка поменьше; если же количество высыпанных монеток не делится на 3, то откладывает в сторону 1 или 2 монеты, чтобы оставшееся количество делилось на 3, поровну раскладывает оставшиеся в три мешка поменьше; потом все три мешка поменьше и отложенную 1 или 2 монеты (если они есть) складывает в исходный мешок обратно. Этот процесс он повторяет это до тех пор, пока может. Сколько мешков понадобится, если у Крюкохвата 210 золотых монет? Пример для 23-х монет показан на рисунке.
Задача №6
Полоску длины 2023 и ширины 23 сложили в форме буквы “N”, как показано на рисунке, причём углы, под которым складывали полоску в каждом из случаев, произвольны. Какова минимальная суммарная площадь участков, закрашенных серым?
Задача №7
Трёхзначное натуральное число назовём крутым, если в нём можно переставить цифры так, что получится число, делящееся на 11. Если само число уже делится на 11, оно тоже является крутым. Найдите количество крутых чисел.
Задача №8
На доске написано число 30. Двое играют в игру. За один ход разрешается вычесть из числа на доске какой-то точный квадрат, не больший написанного числа, стереть старое число и написать вместо него полученную разность. Выигрывает тот, кто первым получит число 0. Кто победит при правильной игре?
Скачать задания в формате PDF
Решения и ответы
Другие задания олимпиад по математике для 7 класса
Первый тур: 15 - 31 мая
Второй тур: 30 июня

Олимпиада по математике 2024

ШЕСТНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА СИСТЕМАТИКИ
Участвуйте в очередной математической олимпиаде от Систематики! Олимпиада проходит в два тура, по итогам которых победители получают ценные призы грамоты и дипломы.
Именные сертификаты и призы
2 тура в онлайн-формате
Для учеников 1-9 классов
Зарегистрироваться на олимпиаду по математике
Бесплатно