Задания 2-го тура XVI олимпиады по математике для 8 класса

У Петра было некоторое количество рублей и копеек, причём изначально копеек было не больше 100. После того, как Пётр потратил 75% всех своих денег, у него осталось вчетверо меньше рублей, чем было копеек, и вдвое больше копеек, чем было рублей. Какую сумму потратил Пётр?

Шестизначное число заканчивается на цифру 7, а если эту цифру переставить с последнего места на первое, число увеличится в 4 раза. Чему было равно изначальное число?

В треугольнике АВС угол А равен 90°, точка М лежит на АС так что ВМ=МС=4. Угол ВМС равен 120°. Найдите площадь треугольника АВС.

На рисунке изображён квадрат ABCD. Точки E, F, G, H являются серединами сторон квадрата. Внутри трёх четырёхугольников указана их площадь. Найдите диагональ исходного квадрата. В ответе укажите квадрат этого числа.

Круг разбит на 8 одинаковых секторов. Будем называть маленьким кусочек, равный одному сектору круга (с углом 45°), а большим - кусочек, равный двум склеенным секторам круга (с углом 90°). Замощением называется способ положить большие и маленькие кусочки на круг так, чтобы края кусочков совпадали с линиями разреза на круге, а сами кусочки покрывали круг целиком и в один слой. Если два замощения можно совместить поворотом, мы всё равно будем считать их различными. Сколько различных замощений круга существует?

Хоккеист Никита запустил шайбу из левого нижнего угла прямоугольного поля, длина нижнего борта которого равна 20 метров, а длина левого - 21 метр. Шайба прилетела в правый борт, отскочила от него, ударилась о верхний борт, потом ударилась о левый борт, и, наконец, прилетела точно в правый нижний угол. Известно, что шайба отлетает от бортов под тем же углом, под которым прилетает в них. Чему равно расстояние от левого верхнего угла поля до места на левом борте, от которого отскакивала шайба?

Байкеры Андрей, Борис и Эрик выехали из пункта А в пункт Б в одно и то же время и с одинаковой скоростью. На половине пути Эрик засмотрелся на лисичку, пропустил поворот, случайно свернул в лес, где на 2 часа потерялся в тропинках, а потом вернулся на нужную дорогу на расстоянии 2/3 всего пути от пункта Б, удвоил скорость и прибыл на место на 20 минут позже Андрея. Байк Бориса сломался после 1/4 пройденного расстояния, Борис уселся чинить его, а когда починил - вскочил в седло и с утроенной скоростью поехал к пункту Б и прибыл на место на 20 минут раньше Андрея. Андрей проехал всю дорогу с постоянной скоростью и без приключений. Сколько времени Борис потратил на починку байка?

В прошлом году математику Джону раз в месяц снилось некоторое натуральное число, причём каждый раз новое. В новогоднюю ночь Джон записал все двенадцать приснившихся ему чисел на листе бумаги. Верно ли, что среди них всегда можно выбрать четыре различных числа a, b, c и d так, чтобы произведение (a-b)*(c-d) делилось на 99?