Задания 1-го тура XVII олимпиады по математике для 9 класса

Во дворце Чудовища каждая дверь ведёт из одной комнаты в другую. Красавица заметила, что, если закрыть не более чем 1/d (для некого целого d) всех дверей (двери можно выбирать любые!), то из любой комнаты всё ещё можно будет попасть в любую другую. Какое наибольшее количество комнат может быть во дворце?

Четырехугольник ABCD с равными диагоналями вписали в квадрат EFGH так, что вершины A, B, C, D оказались на сторонах EF, FG, GH и HE соответственно. Найдите отношение площадей четырехугольника и квадрата, если FB:FG = 1:8, FB:DH = 1:3

Найдите максимальное значение числа n, при котором значение выражения 48!+49!+50! нацело делится на 5 ⁿ.

Числа х, у и z имеют следующий вид. Чему равно произведение x⋅y⋅z?

Ни одно из действительных чисел x, y и z не равно нулю. Какие значения принимает выражение?

Полуокружность касается стороны AB треугольника ABC со сторонами AB=5, AC=4, BC=3 (см. рисунок). Найдите её радиус.

Число x является решением данного уравнения: 3^(3x) = 333 Какое из утверждений верно для значения x?

В Зверином королевстве проходят соревнования по бегу. Ленивец Глеб каждый день пробегает целое количество километров, готовясь к соревнованиям ровно по часу в день. Четыре дня подряд Глеб старался бегать всё быстрее и быстрее, для этого он каждый день бежал с такой постоянной скоростью, что на преодоление каждого километра ему требовалось некоторое целое количество минут. Будем называть это количество минут темпом бега Глеба. Оказалось, что темп Глеба каждый день уменьшался на одинаковое количество минут, большее 1. Сколько километров пробежал Глеб за эти три дня подготовок?

Петя и Вася играют в игру. Изначально на доске написано число s. За один ход разрешается к написанному на доске числу прибавить 20 или умножить его на 25, старое число стереть и вместо него написать результат своих вычислений. Побеждает тот, после чьего хода на доске впервые окажется число 2025 или больше. Первым ходит Петя. При каком наибольшем s Петя не сможет выиграть за один ход, но точно выиграет за два?

Пусть функция f от натурального числа a возвращает сумму квадратов цифр этого числа. Например, f(47) = 4² + 7² = 65. Из всех чисел a, все цифры в которых различны и не равны нулю, для которых f(a)=41, выбрали наибольшее. Чему равно произведение его цифр?