Задания 2-го тура XVI олимпиады по математике для 9 класса

В остроугольном треугольнике ABC на стороне AC отметили точку M и провели из нее перпендикуляры MN и MP к сторонам AB и BC соответственно. Из точки C провели высоту CH. На стороне AC отметили такую точку D, что ∠HCA = 2∠AHD. Оказалось, что DC = MN + MP. Доказать, что треугольник ABC равнобедренный

Шестизначное число заканчивается на цифру 7, а если эту цифру переставить с последнего места на первое, число увеличится в 4 раза. Чему было равно изначальное число?

На рисунке изображён квадрат ABCD. Точки E, F, G, H являются серединами сторон квадрата. Внутри трёх четырёхугольников указана их площадь. Найдите диагональ исходного квадрата. В ответе укажите квадрат этого числа.

Круг разбит на 8 одинаковых секторов. Будем называть маленьким кусочек, равный одному сектору круга (с углом 45°), а большим - кусочек, равный двум склеенным секторам круга (с углом 90°). Замощением называется способ положить большие и маленькие кусочки на круг так, чтобы края кусочков совпадали с линиями разреза на круге, а сами кусочки покрывали круг целиком и в один слой. Если два замощения можно совместить поворотом, мы всё равно будем считать их различными. Сколько различных замощений круга существует?

Начинающие грузчики Ваня и Женя сложили три кубических ящика в кузов машины, как получилось (как именно получилось -смотрите на рисунке), причём угол маленького ящика лежит ровно на углах больших ящиков. Известно, что объём нижних ящиков одинаковый, а объём верхнего - в два раза меньше. Чтобы верхний ящик не упал в пути, Ваня и Женя привязали его углы к углам нижних ящиков верёвками, как показано на рисунке. Известно, что длина верёвки BG равна 256 сантиметров. Чему равна длина верёвки IE?

Хоккеист Никита запустил шайбу из левого нижнего угла прямоугольного поля. Шайба прилетела в правый борт, отскочила от него, ударилась о верхний борт, потом ударилась о левый борт, и, наконец, прилетела точно в правый нижний угол. Известно, что при каждом отскоке шайба отлетала от борта под тем же углом, под которым прилетела в него. Длина нижнего борта поля равна 15 метров, а общее расстояние, которое пролетела шайба, равно 51 метр. Чему равна длина правого борта поля?

В прошлом году математику Джону раз в месяц снилось некоторое натуральное число, причём каждый раз новое. В новогоднюю ночь Джон записал все двенадцать приснившихся ему чисел на листе бумаги. Верно ли, что среди них всегда можно выбрать четыре различных числа a, b, c и d так, чтобы произведение (a-b)*(c-d) делилось на 99?

В строку в порядке возрастания выписаны двадцать ненулевых чисел, из которых ровно p положительных. Число a стоит на шестом месте, считая от начала строки. Затем все числа заменили на обратные по умножению к ним (то есть каждое x заменили на 1/x), и полученный список из 20 чисел вновь упорядочили по возрастанию. На каком месте оказалось число 1/a?