Задания 1-го тура XVIII олимпиады по математике для 8 класса

Двое мудрецов загадали по числу от 1 до 100. Сначала первый мудрец сказал: “Если твоё число делится на моё, то я буду знать, чему равно твоё число”. На что второй мудрец сказал: “Твоё число точно делится на моё”. Чему равно произведение загаданных мудрецами чисел, если их сумма равна 100?

На картинке все треугольники с черными сторонами правильные и картинка симметрична относительно всех трёх красных осей. Площадь всей фигуры равна 1. Площадь серой части равна 0,75. Чему равна площадь маленькой белой звезды в центре?

Выберите верное (ые) утверждение(я): 1. Отношение длины окружности к диаметру этой окружности зависит от радиуса данной окружности. 2. Равносторонние треугольники являются также и равнобедренными, однако, в обратную сторону это правило не работает. 3. Есть два куба: первый имеет размеры 9х9х9 см, второй точно такой же, но с вырезанным кубиком 1х1х1 см в центре фигуры. Если задаться целью их покрасить, то на первый куб уйдет больше краски. 4. Чисел, которые будут записываться бесконечно долго, и при этом не превышают ноль — не существует.

За один день в Систематике проходит 8 групповых уроков длительностью 1 час (перерыв между соседними уроками 6 минут). Вася набрался сил, и чтобы вспомнить забытое за лето, решил посетить все уроки разом. Однако, уже после пяти минут он растерял мотивацию, и начал смотреть на настенные часы, наблюдая за тем, как же медленно двигается часовая стрелка. Какой же угол (в градусах) описала часовая стрелка за всё время проведения занятий, с учетом перерывов?

Окружность касается гипотенузы и катета прямоугольного треугольника и делит другой катет на отрезки длины 6, 18 и 32, считая от вершины прямого угла. Чему равна гипотенуза?

Сколько существует пар натуральных чисел n, m m таких, что n+(n+1)+(n+2)+… +(n+m)=1000?

Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение 8a=3ab−12b?

Отношение двух положительных чисел равно отношению их суммы к их разности. Каково это отношение?

Петя выписывает на доску числа. Первые три числа — это 2, 3 и 5. Каждое следующее число равно сумме всех предыдущих минус их количество. Например, на четвёртом месте будет стоять (2 + 3 + 5) − 3 = 7, на пятом – (2 + 3 + 5 + 7) − 4 = 13 и так далее. Чему равна сумма членов этой последовательности с чётными номерами, не превосходящими 20 (то есть сумма второго, четвёртого, шестого, … и двадцатого членов последовательности)?