Задания 2-го тура XVII олимпиады по математике для 9 класса

Дан стеклянный параллелепипед, со сторонами a*b*с (a≠b≠c a,b,c >1) состоящий из стеклянных, единичных кубиков. На сторонах граней размещаются излучатели 3-х цветов, параллельные сами себе и одной из граней. Притом все излучатели одного цвета ориентированы одинаково и не совпадают с другими цветами (все единичные кубики освещены одним цветом строго с 1 стороны). После включения оказалось, что кубиков, освещаемых красным цветом — 45, синим — 72, зелёным — 72. Синих излучателей потребовалось больше, чем зелёных и красных вместе взятых, а красных и зелёных поровну. Одноцветных кубиков не было совсем. Разноцветных кубиков оказалось: красно-синих — 27; зелёно-красных — 30; сине-зелёных — 41; трёхцветных — 16. Вопросы: а) Восстановите размер параллелепипеда б) Каким граням (укажите их размеры) перпендикулярны какие излучатели в) Сколько кубиков не пронзают лучи?

Известно, что для цифр x1, x2, x3 и x4 выполняется условие x1+x29 и x3+x49. А d — это некоторое натуральное число. Сколько решений имеет уравнение:

На плоскости отмечено 15 синих точек и 65 красных. Некоторые точки соединены отрезками. Оказалось, что если две точки не соединены отрезком, то найдется красная точка, которая соединена отрезками с каждой из них. Докажите, что есть точка, соединенная отрезком как минимум с девятью другими.

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему некоторого постоянного числа, которое называется шагом прогрессии. Например, наборы чисел 1, 2, 3, 4, 5, ... и 2, 5, 8, 11, 14, ... — это арифметические прогрессии с шагами 1 и 3 соответственно. Известно, что числа в любой строке и любом столбце в таблице ниже составляют арифметическую прогрессию. Чему может быть равна сумма чисел во всех клетках таблицы?

Известно, что сумма трех простых чисел p, q и r в 19 раз меньше их произведения. Чему может быть равно выражение p² + q²+ r²?

Три окружности P, Q и R касаются друг друга. Их центры лежат на диаметре окружности P, как показано на рисунке. Известно, что длина окружности Q = 50, а длина окружности R = 100. Чему равна длина окружности P?

Известно, что 25^x = 81^y = 2025

При каких значениях k прямая, задаваемая уравнением y=k, имеет суммарно две точки пересечения с графиками: y=(x³+4x²+x-6)/(x-1) и y=(x³-4x²+x+6)/(x+1)