Задания 1-го тура XVIII олимпиады по математике для 9 класса

Двое мудрецов загадали по числу от 1 до 100. Сначала первый мудрец сказал: “Если твоё число делится на моё, то я буду знать, чему равно твоё число”. На что второй мудрец сказал: “Твоё число точно делится на моё”. Чему равно произведение загаданных мудрецами чисел, если их сумма равна 100?

В банке 25 конфет пяти разных цветов, при этом конфет каждого цвета поровну. Какова вероятность, что взяв 5 конфет из банки мы возьмем конфеты не всех цветов?

Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение 8a=3ab−12b?

Отношение двух положительных чисел равно отношению их суммы к их разности. Каково это отношение?

Половина окружности вписана в четвёртую часть в другой окружности как показано на рисунке. Каково соотношение площади половины окружности (меньшей части) к четверти окружности (большей части)?

Рассмотрим всевозможные прямоугольники с периметром 32. Чему равна минимально возможная длина диагонали в них?

Петя выписывает на доску числа. Первые три числа — это 2, 3 и 5. Каждое следующее число равно сумме всех предыдущих минус их количество. Например, на четвёртом месте будет стоять (2 + 3 + 5) − 3 = 7, на пятом – (2 + 3 + 5 + 7) − 4 = 13 и так далее. Чему равна сумма членов этой последовательности с чётными номерами, не превосходящими 20 (то есть сумма второго, четвёртого, шестого, … и двадцатого членов последовательности)?

В лавке с мороженым в летний день собралась очередь из 30 человек, и они начали обсуждать любимые вкусы мороженого. Назовём вкусы двоих людей схожими, если в списках их любых вкусов есть хотя бы один общий. Оказалось, что если взять любых двух человек (для удобства обозначим их X и Y) из очереди, то в очереди найдётся ещё хотя бы двое, вкусы которых будут схожи с X и Y. Назовём сладкоежкой человека, вкусы которого схожи со вкусами наибольшего количества людей в лавке (возможно, сладкоежек несколько). Какое наименьшее количество любимых вкусов может быть в списке сладкоежки?