Задания 1-го тура XХI олимпиады по математике для 6 класса

В равнобедренной трапеции верхнее основание разделили на 2 равных отрезка, а нижнее — на 4 равных отрезка той же длины. Затем внутри трапеции провели отрезки, как показано на рисунке. Суммарная площадь синей части равна 16. Чему равна суммарная площадь белой части внутри трапеции?

В банке времени лежал 1 килограмм часов. Сначала со счёта сняли 10% от всего времени, а потом ещё 200 граммов выдали клиенту. На сколько процентов уменьшилась масса времени по сравнению с начальной?

На доске записано трёхзначное число, все цифры которого различны и не равны 0. Если сложить все различные двузначные числа, которые можно образовать из цифр числа на доске, то получится 330. Найдите наибольшее число, которое могло быть записано на доске.

У Вовочки есть разноцветный треугольник с проведёнными на нём линиями сетки (см. рисунок). Вовочка ведёт разрез по линиям сетки от одного узла на границе треугольника до другого так, чтобы в результате треугольник распался ровно на две части. Сколько различных разбиений треугольника на две части можно получить?

В шести секторах круга сидят шесть амёб: две жёлтые, две синие, белая и красная — в таком порядке по часовой стрелке. Каждую минуту все амёбы одновременно перепрыгивают в следующий сектор по часовой стрелке и меняют цвет: жёлтая становится синей, синяя — красной, красная — белой, белая — жёлтой. Через сколько минут впервые в каждом секторе будет амёба того же цвета, что и сначала?

Куб с ребром 10 составлен из единичных кубиков. Его можно разбить на диагональные слои: 1-й слой -- это угловой кубик, 2-й слой -- три кубика, имеющие общие грани с первым кубиком, 3-й слой -- следующий диагональный слой из шести новых кубиков, имеющих общие грани с кубиками из 2-го слоя, и так далее. Сколько всего кубиков в 25-м слое?

В корпорации «Честность» все сотрудники разного возраста и знают возраста друг друга. Каждый человек говорит правду всем, кто старше него и врет всем, кто младше него. На совещании корпорации было четверо: Аня, Боря, Вика и Гоша. Аня сказала Вике: «Гоша самый старший из нас». Вика сказала Гоше: «Боря старше тебя». Гоша сказал Боре: «Аня старше тебя». Расположите сотрудников от младшего к старшему.

Петенька взял 16 маркеров разных цветов, пронумерованных числами от 1 до 16, и квадрат, разбитый на 16 клеток. Каждую клетку он закрасил отдельным маркером, использовав каждый маркер ровно один раз. Цвета просвечивали и с обратной стороны листа, поэтому номер использованного маркера можно было определить с обеих сторон. Затем Петенька расположил один и тот же квадрат пятью различными способами: поворачивал его и иногда переворачивал лист на обратную сторону. Все пять получившихся положений квадрата были различны. После каждого такого преобразования он переписывал расположение всех шестнадцати номеров в таблицу 4 × 4, а потом стирал часть записанных чисел. Получившиеся пять неполных таблиц показаны на рисунке. Известно, что в первоначальном положении квадрата сумма чисел в верхней строке равнялась 36. Чему равнялась сумма чисел в третьей строке этого квадрата?

Какое наименьшее натуральное число можно не менее чем тремя различными способами представить в виде произведения двух различных составных чисел? Пары, отличающиеся только порядком множителей, считаются одинаковыми.