Задания 1-го тура XХI олимпиады по математике для 8 класса

a, b, c – действительные числа. Известно, что одно из выражений a(b+c)+b(a+c)+c(a+b) и a2+b2+c2 равно −2, а другое равно 3. Чему равно значение выражения ∣a+b+c∣?

Сколько существует трёхзначных чисел, которые при делении на число, составленное из их последних двух цифр, дают в частном свою последнюю цифру, а в остатке - ноль?

В квадрате размером 10 × 10 клеток Незнайка провёл от 0 до 9 горизонтальных и от 0 до 9 вертикальных внутренних красных линий сетки (каждая — длиной 10). Очень умный и никогда не ошибающийся Знайка посчитал, что вариантов покрасить клетки квадрата в чёрный и белый так, чтобы клетки, соседствующие по красной стороне, были одного цвета, ровно 256. Варианты, которые отличаются поворотом или симметрией, Знайка считал различными. Сколько всего красных линий мог провести Незнайка? В ответе укажите сумму возможных количеств красных линий.

Двадцать теннисистов сыграли турнир на выбывание. В каждом туре играли какие-то двое из участников, которые еще не выбыли. Оказалось, что Петя сыграл шесть партий, а Коля - пять. Какое наименьшее количество теннисистов могли сыграть только одну партию?

В корпорации «Честность» все сотрудники разного возраста и знают возраста друг друга. Каждый человек говорит правду всем, кто старше него и врёт всем, кто младше него. Каждый сотрудник по одному разу спросил каждого из остальных: «Ты старше 30 лет?» Всего в ответ на эти вопросы слово «да» прозвучало 48 раз. Сколько сотрудников работает в корпорации?

Назовём хорошим пятизначное число, у которого все цифры различны и идут строго по убыванию слева направо. Сумма трёх хороших пятизначных чисел — это число, у которого цифра десятков равна 6, а цифра сотен равна 5. Какое наименьшее и наибольшее значение может иметь эта сумма? В ответе запишите их сумму.