Задания 2-го тура XVIII олимпиады по математике для 8 класса

Гарри Поттер купил в Лавке Олливандера волшебную “вечную” свечу. Первоначальная высота свечи - 30 см. Гарри заметил, что первый сантиметр свечи сгорел ровно за 15 минут, а каждый следующий сантиметр горит столько же, сколько все предыдущие вместе взятые. На сколько часов хватит свечи на самом деле?

Решите уравнение в целых числах:

Петя написал на доске выражение: ** ∙ ** ∙ ** = 2025 Вася хочет заменить звёздочки цифрами из набора 1, 2, …, 9, взяв каждую цифру не более одного раза, так, чтобы получить верное равенство. Сколькими способами Вася может это сделать?

В стране Числонии есть города с названиями от 1 до 20. Сначала из каждого города с меньшим номером провели авиалинию в каждый город с большим номером. Будем называть заменой авиалинии ситуацию, когда из авиалинии ведущей из A в B делают авиалинию, ведущую из B в A. Сначала заменили одну авиалинию из 2 в 20 город. А затем несколько раз брали какой-то город и заменяли все авиалинии, которые ведут из или в него. Докажите, что в любой момент будут такие три города A, B и C, что из A есть линия в B, из B есть линия в C и из C есть линия в A.

Есть клетчатый квадрат 6×6, в котором некоторые клетки черные, а остальные белые. Известно, что в любом клетчатом прямоугольнике внутри, у которого обе стороны больше 1, хотя бы один из угловых квадратиков белый. Сколько максимум черных квадратиков?

Чемпионат по футболу с участием 16 команд проходил в один круг (каждая команда играла с каждой ровно один матч; за победу дается 3 очка, а за ничью 1 очко). В очередном туре все команды разбиваются на пары и команды из каждой пары проводят матч между собой. При каком наименьшем k могло оказаться, что после k туров уже определена команда, которая получит 1-ое место и команда, которая получит 2-ое место, и результаты следующих матчей не могут на это повлиять?

AH – высота треугольника ABC (Н лежит на стороне BC). На стороне AC нашлась точка K такая, что BK=KC и AH=HK. Докажите, что прямая HK делит площадь треугольника ABC пополам.